measure41 2016.11.15 13:49:21

Harmadrészt, pedig ahhoz képest, hogy már megismerte "természetes számok valóságos természetét", a felmerülő problémákat igen gyakran csak ellentmondásosan tudta "megoldani", például, ön rendszeresen végtelen természetes számOKról beszél, majd kijelenti: ∞ = ∞+1 (melyről megmutattam, hogy a halmazelméleti modellel egyértelműen ellentmondásos), ezzel az Ön által határértékként felfogott végtelen természetes számból rákövetkezéssel csak saját magát tudja implikálni, így az innentől vett sorozat konstans, tehát "határértékképzéssel" sem tud újabb végtelen számokat "generálni", ami pedig ellentmondásban van a többesszámmal, és a megszámlálhatatlansággal.

measure41 2016.11.15 19:34:42

Mindezektől eltekintve, most már, hogy többé kevésbé tudom, milyen fogalmakkal operál, jöjjön annak bizonyítása, hogy P5 ellentmond a végtelen nagy természetes számoknak.
1. lépés: Legyen X az Ön által elképzelt természetes számok halmaza, melynek létezését nem tagadja, csak azt állítja, hogy tartalmaz "végtelen természete számokat", de ettől még halmaz, tehát megfelel az "egyértelmű meghatározottság kritériumának".

2. lépés: Ön elismeri, hogy vannak olyan "végtelen természetes számok", ami nem kapható meg a rákövetkezés műveletével (ezért is van szüksége a "hatéárértékképzésre"). Tehát létezik az X halmaznak ilyen y eleme.

3. lépés: P5-öt teljesíti az X halmaz, hiszen úgy indítottunk, hogy X maga a természetes számok halmaza, tehát P1 és P2 is teljesül X-re, azaz tartalmazza a 0-t, és minden elemének létezik rákövetkezője, így tartalmazza az összes természetes számot (azaz a természetes számok halmaza részhalmaza X-nek, ami nyilvánvaló, hiszen feltettük, hogy X a természetes számok halmaza, tehát nem csak részhalmaza, hanem egyenlő is vele.

4. lépés: Legyen Y az a halmaz, amit úgy kapunk, hogy X-ből elhagyjuk az y elemet, azaz Y=X\{y}. Ha X halmaz volt, ez nyilvánvalóan halmaz, de ezt is túlragozhatjuk: Legyen A(x) az a logikai függvény, ami pontosan akkor igaz, ha x eleme a természetes számok halmazának. (Továbbra is szem előtt tartva, hogy mivel X Ön szerint is halmaz, tehát megfelel az "egyértelmű meghatározottság kritériumának", tehát az A(x) szintén, így Y-t így is írhatjuk: Y={x: A(x)=igaz és x nem egyenlő y}, ami továbbra is, ha jólmeghatározott. Tehét, Y szintén halmaz.

5. lépés: Y teljesíti P5 feltételét, mert egyrészt tartalmazza a 0-t, hiszen X tartalmazta a 0-t, és Y definiálásánál a 0-t nem hagytuk el belőle, ugyan így tartalmazza minden elemének a rákövetkezőjét is, mert y X-ben olyan elem, ami semmilyen másik elemnek sem a rákövetkezője, tehát Y is tartalmazza az összes természetes számot, azaz részhalmaza a természetes számok halmazának.

6. Lépés. y természetes szám, mert eleme a természetes számok X halmazának, viszont Y nem tartalmazza y-t, tehát az összes természetes számot sem tartalmazza, hiszen konkrétan egy adott természetes számról meg tudtuk mutatni, hogy nem eleme.

Konklúzió: Tehát Y-nak P5 miatt tartalmaznia kellene az összes természetes számot, de ezzel ellentétben ez mégsem igaz. Ezen ellentmondást az alapfeltételezésünk okozza, miszerint létezik végtelen nagy természetes szám. Ugyan ez az ellentmondás fellép, ha megengedünk bármilyen olyan elemet, amit nem kaphatunk meg a 0-ból a rákövetkezés segítségével. Az ellentmondás csak akkor kerülhető el, ha X azzal a halmazzal egyezik meg, amit én fentebb leírtam, melyet Ön nem fogad el halmazként.
Pedig bizony, bármennyire is szeretné, valójában megfelel a "egyértelmű meghatározottság kritériumának", hiszen mindenről el lehet dönteni, hogy a 0-ból a rákövetkezés műveletével el lehet e jutni, vagy nem. Nyilván egy háromszög esetében a válasz "nem", a 2536 esetében pedig "igen" a válasz.
A végtelent is elég érdekesen kezeli, egyszer teljesen magától érthetőnek veszi, és határértékképzésre hivatkozik, meg megszámlálhatatlanul végtelen természetes számok halmazáról, majd, amikor egy az Ön elméletébe nem passzoló végtelen halmazról lenne szó, már azt hozza elő érvnek, hogy "hogyan határozzuk meg az utolsó elemét, sőt bizonyítottnak látjuk, hogy nincs is ilyen elem". Miért kéne ilyen elemnek lennie? Végtelen elemszámú halmazok esetében bizony előfordul, hogy nincs utolsó eleme, ugyan úgy, ahogy az Ön képzeletében a végtelen nagy természetes számoknak sincs legnagyobbika.

Mindenesetre kíváncsian várom, hogy megmutassa, a fenti bizonyításban hol hibáztam.

measure41 2016.11.16 20:44:54

Abban igaza van, hogy a (Valós számhalmazokra vonatkozó) Cantor-féle metszet -tétel és a Cantor axióma állítása megegyezik. Tételként csak a Felsőhatár axióma kimondásával bizonyítható, ami újra csak implicit kimondása annak, hogy léteznek irracionális számok. De ez nem változtat semmit, mert mindegy, hogy test és rendezési axiómákat a felsőhatár axiómával, vagy a Cantor és az Archimedesi axiómával egészítjük ki, ekvivalens elméletet kapunk, de az én meglátásom az, hogy az utóbbi két axióma szemléletesebb.
Mivel, mint kiderült, nem ismeri el, hogy létezne a természetes számoknak semmilyen halmaza, csupán olyan halmaz, ami tartalmazza a természetes számokat, meg még mindenféle egyebet is, így nyilván a bizonyítás többi része sem lehet irreleváns.
" Y nem szabályos zárt halmaz, hanem nyílt, így számossága se értelmezhető." Ugyan úgy, ahogy egy halmazon értelmezett környezetstruktúra nélkül határértéket sem lehet értelmezni, úgy a nyílt halmaz fogalmát sem, arról nem is beszélve, hogy nincs semmiféle kapcsolat aközött, hogy egy halmaz nyílt vagy zárt, illetve, hogy milyen a számossága, pontosan azért, mert önmagában egy halmazon nincs értelme a fogalomnak.
Sorozatokról beszél továbbra is, amit még mindig nem definiált. A sorozat a halmaznál sokkal bonyolultabb fogalom, és erősen kötődik a természetes számok fogalmához, és attól még, hogy ezt ön nem fogadja el/nem érti, ez így van.
Egy hét azt hiszem elég volt, hogy megpróbáljam meggyőzni, több időt és energiát nem szeretnék ráfordítani, de ne lepődjön meg azon, ha nem teljesül be a jóslata: "Ezek a gondolatok át fogják formálni a matematikát." Nem, nem fogják. Ennek a matematikához semmi köze, maximum annyi, hogy matematikai szakszavakat használ.

measure41 2016.11.07 22:10:31

A Russell-paradoxon esetében a G halmaz létezése vezet ellentmondásra.
A Cantor tétel bizonyítását elég lazán közölte, fejtsük ki bővebben:
Adott egy A halmaz, és ennek H(A) hatványhalmaza. Feltesszük, hogy létezik f : A -> H(A) bijekció (Valójában csak a szürjektivitást használjuk ki).
Legyen X = {x ∈ A: x ∉ f(x)} amely nyilván részhalmaza A-nak, azaz eleme H(A)-nak.
Mivel f szürjektív, így létezik olyan y ∈ A melyre f(y)=X. Ekkor ha y ∈ X=f(y), akkor és csak akkor, ha y ∉ X, tehát ebből következtetünk arra, hogy ilyen y nem létezik, ami a szürjektivitásnak mond ellent. Itt nem az X halmaz jelenti a problémát, hiszen A és H(A) közötti létező leképezés esetén X nagyon is egy jól definiált, konkrét halmaz.

measure41 2016.11.08 12:43:31

@Takács Ferenc bp.:
A Cantor tétel a természetes számok halmazára pontosan azt mondja ki, amit állít, hogy nem létezik olyan szürjektív megfeleltetés a természetes számok és annak hatványhalmaza között, tehát definíció szerint a természetes számok hatványhalmaza nagyobb számosságú mint a természetes számoké.
Olvastam a többi cikkét is, a H leképezésről, amivel, mint már többen rámutattak, az a probléma, hogy csak a véges részhalmazokra vonatkozik, tehát nem bijektív. Ezen problémát az Ön önkényes határérték felfogása sem oldja meg. Olyan konkrét természetes számot nem tud mondani, amire H értéke éppen a páros számok halmaza lenne, csupán megadott a természetes számoknak egy olyan részhalmazát, melynek elemein végiglépkedve a H értékének a "határértéke" éppen a páros számok halmaza, tehát lényegében kiterjesztette a H függvényt úgy, hogy a természetes számok adott részhalmazán is értelmezve legyen, tehát a természetes számok számosságát tekintve már irreleváns.

measure41 2016.11.10 14:44:20

A határérték fogalmát elég általánosan definiálja és tárgyalja a topológia, mely lényegében az összes határértékdefiníciót magában foglalja, és a sorozatoknál sokkal általánosabb halmazstruktúrákra épít, tehát az az állítás, hogy nem tárták fel a művelet mélységét, abszurd.

measure41 2016.11.10 13:56:34

A látszólagos paradoxont egyszerűen a hibás intuíció, és a precíz fogalmak hiánya okozza.

N(n)={(0, i): i=0, ... n} ≈ {i: i=0, ..., n}
V(n)={(1-i/n, i): i=0, ..., n}
P(n)={(1-i/n, 0): i=0, ..., n} ≈ {1-i/n: i=0, ..., n}

Az y=n(1-x) egyenletű egyenesek meredeksége valóban a végtelenhez tart, de ez nem jogosít minket fel arra, hogy azt mondjuk, hogy maga a "létra" a függőlegeshez konvergál. Nézzünk ilyen gondolatmenetre egy létrához elég közel eső példát:
Legyen H(n) az a háromszög, melynek csúcspontjai: (0, 0), (1/n, n), (2/n, 0), ahol n=1,2,3,...
Ezen H(n)-ekről rögtön két megállapítást tehetünk. Egyrészt mindegyik háromszög, másrészt, mindegyiknek a területe egyenlő 1-el. Alkalmazva az ön logikáját, (0, 0) -> (0, 0), (1/n, n) -> (0, ∞), (2/n, 0) - > (0, 0), Tehát H(n) tart y koordinátatengely nem negatív részéhez, aminek ráadásul létezik területese, ami éppenséggel szintén megegyezik 1-el, ami már így önmagában is banalitás, azonban ugyan erre a halmazhoz jutunk, ha a "csúcspont" koordinátáit megváltoztatjuk például (1/n, 2n)-re, így az összes tag területe 2 lesz, tehát a feltételezett határhalmazé is, ami ellentmond annak, hogy az előbb "megmutattuk", hogy a területe 1.
A probléma az intuitív határértékfogalom.
A fenti problémára van matematikailag megalapozott módszer. Nevezzük a fenti háromszög alapjának az x tengelyen fekvő oldalát, és száraknak a másik kettőt. Legyen f_n:[0, 1] -> R függvény, melynek grafikonja megegyezik a H(n) háromszög száraival, ezenkívül legyen mindenütt nulla. Nem nehéz belátni, hogy minden [0, 1]-beli x-re f_n(x) tart 0-hoz a klasszikus pontsorozati konvergencia szerint, ebből természetszerűen adódik, hogy az f_n függvények határértékének az azonosan nulla függvényt tekintsük. Térjünk vissza a területre, ez ugyebár jelen esetben a [0, 1] intervallumon vett integrálja a függvényeinknek, ami minden n-re megegyezik 1-el, az f_n függvények integráljának limesze tart 1-hez, ellenben az f_n függvények integrálja egyenlő 0-val (ezt a tényt az se változtatja meg, ha az előbbi módon a csúcspont koordinátáit megváltoztatjuk).
Ezzel már kaptunk egy jól definiált határértékfogalm az analízis nyelvén, próbáljuk ezzel megvizsgálni a vételen létrát. Rögtön adódó probléma, hogy ebben az esetben az f_n(x)=n(1-x) függvény esetében nem jutunk sokra, mert ha x nem egyenlő 1-el, akkor f_n(x) a végtelenhez tart, míg f_n(1) a 0-hoz, tehát pontonként nem konvergens a függvény, de ez a probléma áthidalható, ha az x és y koordinátatengelyek szerepét felcseréljük.
f_n(x)=1-x/n ahol x=1, 2, 3, ...
Ebben a kontextusban már igaz, hogy minden x-re f_n(x) tart az azonosan 1 függvénnyel, amely analóg azzal, hogy a létra határhelyzete az x=1 fölötti vízszintes félegyenes. Fogalmazzuk meg most ezen a nyelven az N, V és P halmazokat is:
N(n)={(k, 0), k=0..n}
V(n)={(k, f_n(k)), k=0..n}
P(n)={(0, f_n(k)), k=0..n}
Minden 0<= x <=1 racionális számra igaz (x=p/q, ahol nyilván p<=q), hogy f_q(q-p)=x. Mivel a racionális számok sűrű részhalmaza a természetes számoknak, azaz tetszőleges valós számot közelíthetünk racionális számok sorozatával, így nincs semmi meglepő abban, hogy minden [0, 1]-beli y-ra (legyen az racionális vagy éppenséggel irracionális) minden n-re megadható olyan k(n), hogy 0 <= k(n) <= n, hogy f_n(k(n)) tart y-hoz, de ezzel csupán definiáltunk egy olyan a_n konvergens racionális sorozatot melyre igaz, hogy f_n(a_n) tart x-hez. Itt jön a probléma. Amit ön lényegében feltételez, hogy ebből következik, hogy ha az a_n sorozat határértéke a, akkor f_n(a) is tart x-hez, ami viszont már nem igaz, mert a pontonkénti konvergencia fogalma nem vonja maga után a határértékképzés felcserélhetőségét. Ehhez egy erősebb konvergenciafogalomra van szükség, az egyenletes konvergenciáéra, amit az f_n függvénysorozat már nem teljesít. Így következhet be, hogy a "határérték vetülete" nem egyezik meg a "vetületek határértékével". Az egyenletes konvergencia már bír azzal, hogy ha a függvénysorozat tagjainak bizonyos tulajdonságait a határérték is tartja, például a határértékképzés felcserélhetősége, folytonosság, integrálok határértéke a határértékek integrálja)