h734988 2010.12.10 03:22:01

Tehát a bizonyítás egy olyan D-n alapul, ami nem is játszik. S ez a jelenség nem egyedi, talán általános. Dr. Szendrei János: Algebra és Számelmélet tankönyvének 66. oldalán egy apróbetűs részben ugyanez a szarvashiba fordul elő. Először leírja, hogy csak az egyértelműen sorszámozható mondatok játszanak, azután egy ennek a feltételnek nem eleget tevő mondatból kiindulva mutatja be a Richards-féle antinómiát. Nagyarul egy olyan mondatot elemez, amelyik nem is játszik.

Ezzel kapcsolatban arra jutottam, hogy a kizárt harmadik elve van általánosan elnagyoltan használva. A sem-sem és az is-is eset még kezelve van, de megengedik a szabadon választott esetét. Ez is nagy baki. Pl: "Ez a mondat igaz". Látszólag semmi probléma ha akár igaznak akár hamisnak tekintjük. Látszólag! E mondat tagadása ugyanis ekkor megkapja a tagadáshoz illően a másik logikai értéket. Márpedig ha az "Ez a mondat hamis" logikai igazságértéket kap ott kő kövön nem marad. Ugyanis ha hamisat kap abból az igaz levezethető és vice versa. Így a kizárt harmadik elve alapjában zárja ki a szabadon választhatóságot is. Ennek egy alesete az önhivatkozásos mondatok. Benne vannak azok is ahol egymásra (kör)hivatkoznak, s az egész rendszer együtt alkot ellenmondást. Például: A következő mondat igaz. Az előző mondat hamis. S ahogy Ruzsa Imre helyesen mondta, ha egy mondat nem teljesíti a kizárt harmadik elvét, akkor nem tekintjük logikai állítás kifejezőjének! Magyarul van olyan nyelvtanilag állító mondat, ami nem játszik a logikában!

Az "ez a mondat nem bizonyítható" nem eldönthetetlen hanem nem játszik. Nem játszhat! Ugyanis akármelyik logikai igazságértéket rendelnénk hozzá ellentmondást kapnánk. Ha a hamist, akkor bizonyítható lenne, de ez ellene mond saját jelentésének. Ha az igazat, akkor mitől is igaz? Hát attól, hogy annak nyilvánítottuk. Na de ezzel axiómává nyilvánítjuk. S ekkor triviálisan levezethető, ami megint saját értelmének mond ellene.
E példa is jól mutatja miért kell a kizárt harmadik elvében a szabadon választható logikai igazságértékű mondatokat is kizárni.

Ha a matematika csak értelmetlen jelek manipulációja, akkor persze egy mondat értelmével sincs mit kezdeni. Az erre alapozó formális rendszer minden megfogalmazható mondatot játékban levőnek tekint.
Így esik meg, hogy szavakban leírva, csak az egyértelműen számozható mondatok játszanak a Ricahrds antinómiánál, csak a tényleges Turing-gépek a Megállási Problémánál, s csak az igaz mondatok Gödelnél, de ezen szabályokat azután már senki és semmi nem ellenőrzi. Az eredmény ellentmondás. Amiből a helyes következtetés: Az ellenőrzést el kellett volna végezni! Téves következtetés: eldönthetetlenség.

Nemrég találtam, jó adalék ide: phil.elte.hu/leszabo/Preprints/MAKOG03/szl_szemantika.pdf

h734988 2010.12.10 03:37:32

@Joaquin: Papdimitriou csak egy megjegyzést tesz arra, hogy a megfogalmazható mondatok száma kontinuum, a kezelhetőké pedig megszámlálható. Értsd: csak a véges mondatok kezelhetőek! S igazad van (Köszönöm a felfevétést!) igazság érték is csak a kezelhetőkhöz rendelhető! Magyarul a kontinuumnak az egész ügyhöz semmi köze, a dolog a megszámlálhatón belül zajlik. Erre megy ki a játék, hogy a megszámlálhatón belül mutassanak ki eldönthetetlenséget. S ez az amit nem sikerül, csak az ellenőrzés hiányát... Vagy ahogy E. Szabó László fogalmaz: Ha az igazságot a bizonyíthatóságtól eltérően definiáljuk, akkor a két fogalom nem esik egybe...
Ez Gödel első nem teljességi tételének a "mély" üzenete.

h734988 2010.12.10 02:38:18

Véletlenszerű -> végtelen esetet kellene külön-külön kódolni -> ez nem megy Turing-géppel, mert az csak véges lehet.

h734988 2010.10.05 15:54:57

@Amaranta. Igen GJ tud a blogról, honlapján www.geier.hu legutób tegnap frissítette az anyagot, sárga háttérrel kiemelten reagál az itt elhangzottakra.

h734988 2010.10.07 05:09:50

@mandras Hibáztatja GJ korlátozási szabály példáját, mondván a-b-c-vel osztást kér részre kell osztani, lesz egy ág melyben 0 s egy amelyben nem 0. Az ellenvetés hibás. Arról szól, hogy ha még nem tudjuk hogy 0. GJ arról szól, hogy már tudjuk, hogy 0, ha tetszik az első ágról. Ezen az ágon meg mindenki betartja a 0-val való osztás tilalmának korlátozási szabályát.

@mandrás Hivatkozott a Church-Turing-tézisre, az elsőrendű logika eldönthetetlenségére. Ez a tézis alapvetően épít a Cantor-tétel fő motívumára. Így felvetődik, hogy ez a hivatkozás a (ii) sorrendiségi szabály megszegése. Ha jól sejtem azonban ez inkább a vita fő okára mutat rá. Az axiomatikus gondolkodás nem csak egy javítása a matematikának, hanem gyökeresen ellentétes szemléte a matematikának, egészen más matematikafilozófia áll mögötte. (mellékesen akik GJ matek diplomáját kétségbe vonják – ezt mandras nem tette, csak itt érdemes kitérnem rá! – biztos hogy túl sokat hallottak matematika filozófiákról. GJ egyszerűsítve gyakorlati/alkalmazott matematikusként szól. Ha tetszik A Természetes Matematikai Gondolkodásmód helyett mondhatná azt, hogy Természetes Alkalmazott Matematikai Gondolkodás mód, s így már jobban érhető lehet, hogy ezt minden alkalmazott matematikát vivő betart. Azt, hogy az elméleti matematikusok néha miket gondolnak erről egy-egy mondatban fel-fel tűnik ismertető matematikafilozófiai munkákban.) GJ gyakorlati vonalat visz, ezzel szemben mandras egy elméleti vonalat állít. Az elméleti vonalban az axiómákból következik mind Church-Turing tézis, mind Cantor-tétel. Viszont nincsenek benne a korlátozási szabályok, sőt éppen elvetésre kerülnek, pontosan az eldönthetetlenség következtében, ami meg az axiómákból levezetett eredmények következménye. GJ azonban nem ebben fogalmazta meg cikkét, így ezt ellene állítani, olyan mintha Eukleidész geometriájában Bolyai geometriája nyelvén beszélnénk s csodálkoznánk, hogy ellentmondásra jutunk. GJ érvelésében a saját rendszerén belül kellene ellentmondást kimutatni. Ehhez minden esetre meg kellene fogalmazni a két felfogás matematikafilozófiai különbségét. Erre nem vállalkoznék. Ám ez sokat segítene a vita helyes mederbe terelésére. Gyanítom, hogy a személyeskedés fő oka, hogy nincs tisztázva ez az alap, vagy ha tetszik nincs figyelembe véve.

h734988 2010.10.09 07:21:21

A formális rendszerek korlátairól szóló paródia:
Adott egy irányított gráf A B csúcsokkal. Axióma1: Irányított él: BA. Posztulátum1: AB irányított él.
Állítás: Létezik BAB irányított kör.
Ez a Természetes Matematikai gondolkodásmódban (TMG) hamis. Nincs AB irányított él, így az irányított kör egy szakasza hiányzik. Ez pedig korlátja (iii. szabály), hogy létezzen az irányított BAB kör.
A formális megközelítésben ez Tétel. BA irányított élen eljutunk B-ből A-ba. Innen Posztulátum1 szerint megy irányított él B-be, mely élen át a kör bezárul. Q.E.D.
Formálisan ellentmondás nem mutatható ki. Ok: korlátozási szabály nincs beépítve. Nevesen, hiányzik például, hogy Axióma2: nem létező irányított élet nem posztulálhatunk.